Теория вероятностей. Мат. статистика. Теория игр. ВГЛТА 2012

Стоимость готовой работы: 750 рублей*

Артикул  473020012

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Контрольная работа

0 – 9

Решить следующие задачи, пользуясь классическим определением вероятности.

0. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш?

1. В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Найти вероятность того, что среди наугад вынутых 5 шаров только 3 шара будут черными.

2. На полке стоят 10 книг, из них 3 – по теории вероятностей. Наугад выбираются 3 книги. Какова вероятность того, что две из них по теории вероятностей?

3. Из ящика, в котором 10 белых и 6 черных шаров, берут наудачу 3 шара. Какова вероятность того, что один из них белый, а два черных?

4. Устройство состоит из шести элементов, два из которых изношены. При включении устройства случайным образом включаются два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся изношенные элементы.

5. Из 12 лотерейных билетов, содержащих 4 выигрышных, наугад берут 6

билетов. Какова вероятность того, что половина из них будет выигрышных?

6. В мастерскую для ремонта поступило 15 телевизоров. Известно, что 6 из них нуждаются в общей регулировке. Мастер берет первые попавшиеся 5 телевизоров. Какова вероятность того, что 2 из них нуждаются в общей регулировке?

7. В ящике имеется 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

8. В цехе работают пять мужчин и четыре женщины. По табельным номерам отобраны шесть человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.

9. Из 20 сбербанков 7 расположены за чертой города. Для аудиторской проверки случайно выбраны 5 сбербанков. Какова вероятность того, что 3 из них окажутся в черте города?

 

 

10 – 19

Решить следующие задачи, пользуясь правилами вычисления вероятностей суммы и произведения событий.

 

10. Устройство состоит из трех независимых работающих элементов. Вероятность

безотказной работы (в течение смены) первого элемента равна 0,9; второго – 0,7;

третьего – 0,6. Найти вероятность того, что в течение смены без сбоя будут

работать:

 а) только два устройства;

 б) хотя бы одно устройство.

 

11. Для сигнализации об аварии установлено два независимо работающих

сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна

0,95 для первого и 0,9 для второго сигнализатора. Найти вероятность того, что

при аварии сработает:

 а) только один сигнализатор;

 б) хотя бы один сигнализатор.

 

12. Испытуемому предъявляется три теста. Вероятности решения тестов соответственно равны 0,7; 0,6; 0,4. Определить вероятность того, что:

а) хотя бы один тест будет решен;

б) только один тест будет решен.

13. Работают одновременно три радиолокационные станции, которые обнаруживают некоторый объект с вероятностями 0,1; 0,2; 0,3. Определить вероятность того, что:

а) только одна из радиолокационных станций обнаружит объект;

б) хотя бы одна из радиолокационных станций обнаружит объект.

14. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного товара по каждому из 3-х центральных телевизионных каналов, равна 0,05. Предполагается, что эти события – независимы в совокупности. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит рекламу:

а) только по двум каналам;

б) хотя бы по одному из этих каналов?

15. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены его
внимания потребует первый станок, равна 0,3; второй – 0,4; третий – 0,5. Найти
вероятность того, что:

а) в течение смены внимания потребуют какие-либо два станка;

б) в течение смены внимания потребует хотя бы один из станков.

16. В городе 3 коммерческих банка, оценка надежности которых – 0,95, 0,9 и 0,85
соответственно. В связи с определением хозяйственных перспектив развития
города администрацию интересуют ответы на следующие вопросы:

а)  какова вероятность того, что в течение года обанкротятся только два
банка;

б) что обанкротится хотя бы один банк?

17. Батарея из трех орудий произвела залп. Вероятность промаха первого орудия
равна 0,3; второго – 0,1, третьего – 0,4. Какова вероятность того, что:

а) в цель попало хотя бы одно орудие;

б) в цель попало только два орудия?

18. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность.
Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракованным, равна 0,15.
Проверено три изделия. Какова вероятность того, что:

а) хотя бы одно изделие стандартное;

б) два из них бракованные?

19. Из партии изделий отбираются изделия высшего сорта. Вероятность того, что
наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,3. Найти вероятность
того, что из трех проверенных изделий:

а) только два будут высшего сорта;

б) хотя бы одно изделие будет высшего сорта.

 

20 – 29

Дискретная случайная величина X задана законом распределения. Найти значение p и числовые характеристики случайной величины X (математическое ожидание; дисперсию; среднее квадратическое отклонение).

20.

X

1

3

5

7

P

0,2

0,5

0,2

p

 

21.

X

2

3

4

5

P

0,1

0,6

p

0,2

 

22.

X

–1

1

3

5

P

0,1

p

0,2

0,5

 

23.

X

–2

1

4

5

P

p

0,5

0,2

0,1

 

24.

X

–3

–2

2

1

P

0,2

p

0,1

0,6

 

25.

X

–1

2

4

6

P

0,2

0,5

0,2

p

 

26.

X

1

2

3

6

P

0,2

0,1

0,4

p

 

27.

X

–1

1

3

4

P

0,2

0,4

0,2

p

 

28.

X

1

2

3

6

P

0,4

0,2

p

0,3

 

29.

X

1

2

5

6

P

p

0,4

0,2

0,1

 

30 – 39

По заданной функции распределения F(x) непрерывной случайной величины X найти плотность распределения f(x), математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) этой случайной величины, а также вычислить P (<X<Р).

40 – 49

Найти коэффициент корреляции и составить уравнение линейной регрессии величины Y на величину X .

40.

xi yj

10

15

20

25

30

35

nj

15

6

4

 

 

 

 

10

25

 

6

8

 

 

 

14

35

 

 

 

21

2

5

28

45

 

 

 

4

12

6

22

55

 

 

 

 

1

5

6

ni

6

10

8

25

15

16

n =80

 

41.

xi yj

20

25

30

35

40

45

nj

10

 

4

8

 

 

4

16

20

2

 

4

 

2

 

8

30

 

 

10

8

 

 

18

40

 

4

 

10

4

 

18

ni

2

8

22

18

6

4

n =60

 

42.

xi yj

5

10

15

20

25

30

nj

14

4

6

 

8

 

4

22

24

 

8

10

 

6

 

24

34

 

 

32

 

 

 

32

44

 

 

4

12

6

 

22

ni

4

14

46

20

12

4

n=100

 

43.

xi yj

15

20

25

30

35

40

nj

100

2

1

 

7

 

 

10

120

4

 

2

 

 

3

9

140

 

5

 

10

5

2

22

160

 

 

3

1

2

3

9

ni

6

6

5

18

7

8

n =50

 

44.

xi yj

12

17

22

27

32

37

nj

105

 

4

 

3

 

 

7

115

2

3

1

 

10

 

16

125

3

 

5

1

 

4

13

135

 

 

 

8

2

1

11

145

1

2

 

 

 

 

3

ni

6

9

6

12

12

5

n =50

 

45.

xi yj

10

15

20

25

30

35

nj

14

 

 

4

2

1

 

7

24

2

1

 

3

8

5

19

34

 

4

2

1

 

3

10

44

3

2

10

 

3

2

20

54

1

3

 

9

 

1

14

ni

6

10

16

15

12

11

n =70

 

46.

xi yj

5

10

15

20

25

30

35

nj

5

10

 

3

5

 

1

4

23

15

 

4

10

 

2

8

 

24

25

3

4

 

6

 

 

6

19

35

 

 

 

4

7

1

5

17

45

2

5

 

 

10

 

 

17

ni

15

13

13

15

19

10

15

n =100

 

47.

xi yj j

24

28

32

36

40

44

48

nj

10

 

6

 

4

 

2

5

17

20

4

 

5

 

7

1

 

17

30

 

4

3

5

 

 

6

18

40

5

3

 

 

10

2

 

20

50

 

 

4

10

4

2

8

28

ni

9

13

12

19

21

7

19

n=100

 

48.

xi yj

10

15

20

25

30

35

nj

36

 

4

 

3

 

 

7

46

2

3

1

 

10

 

16

56

3

 

5

1

 

4

13

66

 

 

 

8

2

1

11

76

1

2

 

 

 

 

3

ni

6

9

6

12

12

5

n =50

 

49.

xi yj

42

46

50

54

58

62

nj

15

 

 

4

2

1

 

7

25

2

1

 

3

8

5

19

35

 

4

2

1

 

3

10

45

3

2

10

 

3

2

20

55

1

3

 

9

 

1

14

ni

6

10

16

15

12

11

n =70

 

 

ТЕОРИЯ ИГР

50 – 59

Предприниматель собирается вложить сумму в количестве 100 тыс. р. В предприятие. У него есть четыре альтернативы А1, А2, А3, А4 выбора формы заключения договора с партнером. Прибыль предпринимателя зависит от того, какую из альтернатив поведения В1, В2, В3, В4 выберет его партнер и совет директоров (у партнера – контрольный пакет акций). Оценки выигрышей предпринимателя для каждой пары альтернатив (Ai, Bj) (i = 1,4, jj = 1,4) приведены в платежной матрице (aij) (прибыль приводится в процентах годовых от вложения).

Определить оптимальную стратегию вложения денег для предпринимателя, если партнер получает тем большую прибыль, чем меньшую прибыль получает предприниматель, поэтому в задачу партнера входит минимизация прибыли предприятия.

 

60 – 69

Некоторая  организация А (первый  игрок)  собирается  либо  выпускать (стратегия А1), либо не выпускать (стратегия А2) новый вид продукции, при этом ей  не  известно,  будет  ли  конкурирующая  организация  В   (второй  игрок) выпускать (стратегия В1) тот же вид продукции (стратегия В2).

Если организации А и В будут выпускать одну и ту же продукцию, то это принесет организации А убыток в а млн. р.

Если организации А и В не будут выпускать эту продукцию, то это не принесет организации А ни убытка, ни прибыли.

Если организация А будет выпускать продукцию, а организация В не будет выпускать эту продукцию, то прибыль организации А составит b млн р.

Если организация не будет выпускать продукцию, а организация B будет выпускать эту продукцию, то (из-за прекращения конкуренции организации по другим товарам) прибыль организации А составит с  млн р.

Определить с  какой  вероятностью организации А следует решиться на выпуск нового товара, чтобы полученная прибыль была максимальна, и какова будет величина прибыли, при соблюдении организациями оптимальных стратегий.

Решить задачу аналитическим и графическим методами.

60. a=2  b=17, с=3.

61. a=3, b=18, с=4.

62. a=9, b=15, с=3.

63. a=% b=11, с=2.

64. a=9, b=17, с=8.

65. a=5, b=11, с=8.

66. a=9, b=16, с=7.

67. a=5, b=16, c=9.

68. a=4, b=U, c=7.

69. a=1 b=10, c=8.

 

70 – 79

Торговая фирма приняла решение открыть свое представительство в другом городе. Имеются 4 альтернативы А1, А2, А3, А4 организации сотрудничества с местными торговыми центрами.

Успех торговой фирмы зависит от того, как сложится ситуация  на  рынке предоставляемых услуг. Эксперты выделяют пять возможных вариантов развития ситуации  S1, S2, S3, S4, S5.

Прибыль фирмы для каждой альтернативы организации сотрудничества при каждой ситуации представлена матрицей выигрышей (aij) (млн. р./ год).

Выбрать альтернативу организации сотрудничества с местными торговыми центрами,  используя  критерии  Лапласа, Вальда,  критерий  максимального оптимизма, Севиджа, Гурвица (с коэффициентом  α = 0,6).

 

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

80 – 89 Решить задачу линейного программирования с известным опорным планом X 0{x1,x2,x3,x4,0,0} симплексным методом.

90 - 99. Решить транспортную задачу

90. В городе имеются 4 хлебозавода Ь1, Ь2, Ь3, Ь4, которые снабжаются мукой

тремя мелькомбинатами a 1, a2, a3. Требуется распределить поставки так, чтобы

транспортные расходы были минимальными. Все необходимые данные указаны в таблице.

bj ai

b1

b2

b3

b4

 

Суточная

производительность

(т)

a1

4

5

4

 

7

25

a2

7

6

6

 

8

20

a3

2

2

4

 

6

35

Суточная

потребность

в муке (т)

30

20

12

18

 

 

 

91. Три различных предприятия a1 , a2 , a3 могут выпускать любой из четырѐх видов продукции b1, b2 , b3, b4 . Производственные мощности предприятий позволяют обеспечить выпуск продукции каждого вида в количествах 50, 70 и 100 тысяч штук, а плановое задание составляет соответственно 20, 80, 20 и 100 тысяч штук. Себестоимость единицы i –того вида продукции при производстве j –тым

предприятием задана таблицей.

bj ai

b1

b2

b3

b4

a1

9

5

4

8

a2

5

7

9

4

a3

8

7

6

5

 

 

Найти оптимальное распределение планового задания между предприятиями, дающее минимальную себестоимость всей продукции.

92. Имеются тракторы трѐх марок: a1 , a2 и a3 . Сезонная норма выработки на все

тракторы марки a1 равна 2000 га, на все тракторы марки a2 – 7900 га и на все

тракторы марки a3 – 2450 га. Распределить сельскохозяйственные работы по

маркам тракторов так, чтобы общие затраты на выполнение работ были минимальными. Себестоимость 1 га работ каждого вида в рублях и объѐм работ приведены в таблице.

bj ai

b1

b2

b3

b4

a1

24

72

24

60

a2

45

90

24

81

a3

27

102

30

75

Объѐм работ

3300

6000

1450

1600

 

Здесь b1 – культивация пара, b2 – пахота пара, b3 – культивация пропашных, b4 – боронование.

93. Завод имеет три цеха a1 , a2 , a3 и четыре склада b1, b2 , b3, b4 . Цех a1 производит 30, цех a2 – 40, цех a3 – 20 тысяч изделий. Пропускная способность складов: b1 – 15, b2 – 30, b3 – 25 и b4 – 20 тысяч изделий. Стоимость перевозки из цехов в склады (в рублях) одной тысячи изделий задана таблицей.

bj ai

b1

b2

b3

b4

a1

20

30

5

40

a2

30

20

50

10

a3

40

30

20

60

 

Составить план перевозок изделий в склады, минимизирующий транспортные расходы.

94. Три склада a1 , a2 , a3 снабжают четыре магазина b1, b2 , b3, b4 холодильниками. Первому магазину требуется 10 холодильников, второму – 8, третьему – 8 и четвѐртому – 11 холодильников. На первом складе в наличии имеется 11 холодильников, на втором – 14, на третьем – 12. Стоимость перевозки (в рублях) одного холодильника в магазин задаѐтся таблицей.

 

bj ai

b1

b2

b3

b4

a1

240

180

270

210

a2

180

150

210

180

a3

240

180

210

240

 

Выяснить, сколько холодильников нужно отправить с каждого склада в магазины, чтобы общая стоимость перевозок при этом была минимальной.

95. Составить план перевозок каменного угля с трѐх шахт a1 , a2 , a3 в четыре пункта b1, b2 , b3, b4 , обеспечивающий минимальные транспортные издержки. Суточная производительность шахт (в тысячах тонн), потребность пунктов потребления (в тысячах тонн), стоимость транспортировки одной тонны угля (в рублях) приведены в таблице.

bj ai

b1

b2

b3

b4

Производительность шахт

a1

10

40

30

30

63

a2

30

20

20

10

45

a3

50

30

60

20

76

Потребность заказчика

68

28

56

32

 

 

96. Фермерские хозяйства a1 , a2 и a3 выделяют соответственно 20 ц, 50 ц, 20 ц молока ежедневно для снабжения пунктов b1, b2 , b3 и b4 . Стоимость перевозок (в рублях за 1 ц) и потребности пунктов даны в таблице.

bj ai

b1

b2

b3

b4

a1

20

30

20

40

a2

30

20

50

10

a3

40

30

20

60

 

Организовать снабжение так, чтобы потребители были обеспечены молоком и транспортные расходы были минимальными.

97. На трѐх складах a1 , a2 , a3 имеется соответственно 50, 70 и 90 тонн муки, которую надо перевезти в четыре магазина b1, b2 , b3, b4 в количествах 80, 60, 40 и 30 тонн соответственно. Необходимо составить оптимальный план перевозок, если стоимость перевозки 1 тонны муки со складов в магазины (в рублях) дана в

таблице.

bj ai

b1

b2

b3

b4

a1

60

60

40

20

a2

40

60

60

20

a3

40

20

60

40

 

98. Строительный песок добывается в трѐх карьерах a1 , a2 , a3 и доставляется на четыре строительные площадки b1, b2 , b3, b4 . Данные о производительности карьеров за день (в тоннах), потребности в песке строительных площадок (в тоннах), транспортных расходах (в рублях за тонну) приведены в следующей таблице.

bj ai

b1

b2

b3

b4

Производительность карьеров

a1

80

60

40

100

46

a2

20

20

120

80

34

a3

60

100

180

80

40

Потребность в песке

30

35

30

25

 

 

Определить оптимальный план закрепления строительных площадок за карьерами, при котором минимизируются транспортные расходы.

99. Известен выпуск изделий на трѐх заводах a1 , a2 , a3 : 460, 340 и 300 штук. Потребности на эту продукцию четырѐх потребителей b1, b2 , b3, b4 : 350, 200, 450 и 100 изделий. Затраты на доставку одного изделия от заводов к потребителям заданы таблицей.

bj ai

b1

b2

b3

b4

a1

3

4

7

1

a2

5

1

2

3

a3

4

5

8

1

 

Определить оптимальный план прикрепления потребителей к заводам из условия минимизации суммарных затрат на транспортировку.

 

100 – 109. Доски длиной l м, имеющиеся в достаточном количестве, нужно распилить на заготовки двух видов: длиной l1м и длиной l2 м, причем заготовок первого вида должно быть получено не менее n1 штук и заготовок второго вида не менее n2 штук. Каждая доска может быть распилена на указанные заготовки

несколькими способами. Требуется найти число досок, распиливаемых каждым способом, с тем, чтобы необходимое количество заготовок было получено из наименьшего количества досок.

 

l

l1

l2

n1

n2

100

2,5

0,9

0,8

76

69

101

3,4

1,4

1,0

62

66

102

2,0

0,6

0,8

90

86

103

2,3

1,1

0,6

88

77

104

3,7

0,8

1,3

54

62

105

2,8

1,0

0,9

68

93

106

4,3

1,4

1,5

85

56

107

1,7

0,7

0,5

38

84

108

3,9

1,2

1,5

91

40

109

2,2

1,0

0,6

44

71

10*

3,5

1,0

1,5

57

70

 

 

 

Стоимость готовой работы: 750 рублей
*После оплаты готовую работу вы получите на указанную почту в течении трех часов
(максимум – 8 часов, если оплачиваете в ночное время для часового пояса UTC +3 т.е. по МСК)